《高等数学B》教学大纲

《高等数学B》教学大纲

 

一、课程说明

课程编码：1803604101

课程名称（中/英文）：高等数学B/Advanced Mathematics B

课程类别：学科平台课

学时/学分：90学时/5.5学分

先修课程：无

适用专业层次：公共事业管理（智慧医疗与健康管理方向）本科

二、课程的地位及作用

高等数学是公共事业管理专业基础课程。它作为数学课程体系中的一门课程，在培养个体逻辑思维严谨性、问题解决方法科学性等方面起到了主要作用；作为公共事业管理专业课程体系的重要组成部分，它与线性代数、概率论、数理统计等数学课程为专业后续课程顺利学习奠定的理论基础和方法基础。特别是随着当今电子科学技术的发展，高等数学的理论和方法为专业问题科学有效解决提供了平台。

三、课程教学目标

社会和自然界中，看到的现象往往是表面的，表面现象往往是不可直接控制的，但导致现象发生的内在因素或条件往往是可以控制的。数学上，把表面现象与内在因素之间的关系称为函数。高等数学作为非数学专业学生学习数学的课程，其最主要研究对象之一就是函数。

（一）知识目标

学习者需要理解与函数概念有关的概念，如极限的概念、导数的概念、微分的概念、积分的概念、微分方程的概念、级数的概念等等，掌握极限的运算法则、导数或微分的基本公式和运算法则、积分的基本公式和积分方法，微分方程的求解方法、级数的敛散性及其审敛方法。

　（二）能力目标

根据极限运算方法灵活求函数的极限，根据导数或微分基本公式和运算法则灵活求函数的导数或微分，根据积分基本公式和积分法则灵活求函数的积分；并能进行较为复杂的混合运算。能够利用导数或微分理论方法解决实际问题，如极值、最值、单调性、凹凸性、函数作图等问题，利用微元法解决面积、体积、曲线长度、曲面面积等问题，利用微分方程理论解决或解释实际问题，掌握无穷级数相关理论和方法。

（三）素质目标

培养辩证的人生观和价值观、从数学角度看问题的意识、团队合作精神；提高分析问题综合问题的能力、对具体问题的抽象能力；培养学生微积分运算的能力和问题数学化的思维习惯；养成严谨求是的科学态度，树立自主学习、终身学习的观念。

四、学时分配表

五、课程章节目的要求、教学内容、重点难点及教学设计

第一章  函数与极限

【总学时】12学时

【学时分配】讲课（含研讨）12学时

【目的要求】

知识目标：理解函数与极限的概念、掌握极限运算方法。

能力目标：能够熟练利用极限的运算方法求一元初等函数的极限、分段函数在分断点处的极限。

素质目标：培养学生变量分析问题能力、动态观察问题的能力。

【教学内容】

第一节 函数极限的概念

1.集合、区间、函数，函数定义域、函数性质，反函数。

2.数列的极限：。

3.自变量趋于无穷时的极限：、、。

4.自变量趋于有限量时的极限：、、。

5.分段函数分段点处的极限。

第二节 极限运算法则

1.四则函数的极限运算法则。

2.复合函数的极限运算法则。

第三节 无穷大与无穷小

1.无穷小。

2.无穷大。

3.无穷小与无穷大之间的关系。

第四节 两个重要极限

1.两个极限准则。

2.第一极限公式：

3.第二极限公式：

第五节 函数的连续性

1.函数连续性的概念，间断点，初等函数的连续性。

2.闭区间上连续函数的性质：最值存在定理、介值定理以及零点存在定理。

【教学重点】极限运算方法，零点存在定理。

【教学难点】极限运算方法的灵活运用、分段函数在分断点处的极限。

【教学方案设计】利用中国古典数学案例，从变的角度引入“极限”，给出极限的定义，体现极限的动态特征。注重理论讲解与学生练习相结合。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第二章  导数与微分

【总学时】12学时

【学时分配】讲课（含研讨）12学时

【目的要求】

知识目标：理解导数和微分的概念、掌握初等函数导数和微分的求解方法。

能力目标：能够熟练利用导数和微分的基本公式与运算法则灵活求一元初等函数的导数和微分、分段函数在分断点处的导数。

素质目标：培养学生变量分析问题能力、从变化快慢角度动态观察问题的能力。

【教学内容】

第一节 函数导数的概念

1.两个经典案例，导数的定义。

2.部分基本初等函数的导数（基本公式）。

3.导数的几何意义，函数连续性与可导性之间的关系。

第二节 导数运算法则

1.四则函数的导数运算法则，部分基本初等函数的导数（基本公式）。

2.反函数的导数，部分基本初等函数的导数，导数基本公式表。

3.复合函数的导数运算法则。

第三节 高阶导数

1.二阶导数。

2.三阶导数、n阶导数。

第四节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数

1.隐函数的导数。

2.由参数方程所确定的函数的导数。

第五节 函数的微分

1.微分的定义。

2.微分的几何意义。

3.微分的基本公式与运算法则。

4.微分的应用。

【教学重点】导数与微分的基本公式、运算法则。

【教学难点】复合函数、隐函数以及参变量函数微分法，分段函数在分断点处的导数。

【教学方案设计】从变化快慢（速度）层面引入“导数”，理论讲解与学生练习相结合较为关键。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第三章  中值定理与导数的应用

【总学时】12学时

【学时分配】讲课（含研讨）12学时

【目的要求】

知识目标：掌握中值定理，理解导数与函数单调性、凹凸性的关系、用导数的符号判断初等函数的单调性、凹凸性，求函数的极值、最值、作图像。

能力目标：能够熟练利用导数的符号判断函数的单调性、凹凸性，灵活求函数的极值、最值，能够做简单初等函数的精确图像。

素质目标：培养学生从全局分析问题解决问题的能力。

【教学内容】

第一节 中值定理

1.罗尔中值定理。

2.拉格朗日中值定理。

3.柯西中值定理。

第二节 洛必达法则

1.未定式的概念，两个基本型未定式。

2.五个非基本型未定式。

第三节 泰勒中值定理

1.泰勒中值定理，泰勒公式、泰勒多项式、余项，麦克劳林公式。

2.近似计算。

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

1.函数的单调性与极值、最值。

2.曲线的凹凸性与拐点。

第五节 函数图像的描绘

1.竖直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。

2.初等函数作图。

【教学重点】洛必达法则、单调性、凹凸性、极值。

【教学难点】最值问题、作图像。

【教学方案设计】复习高中函数相关内容，引入导数与初等函数性质的关系。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第四章  不定积分

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解不定积分的概念，知道不定积分（原函数）与导数的关系，掌握不定积分基本公式与运算方法。了解不定积分的几何意义。

能力目标：能够熟练利用不定积分基本公式、运算性质，选择相应的运算方法灵活进行初等函数的不定积分运算。

素质目标：培养用普遍联系观察问题的意识和能力，对数学的发展脉络做较为全面的了解。

【教学内容】

第一节 不定积分的概念与性质

1.原函数与不定积分的概念。

2.积分基本公式（基本积分表）。

3.不定积分的性质。

第二节 换元积分法

1.第一类换元法。

2.第二类换元法。

第三节 分部积分法

1.幂函数与其它四类函数乘积的不定积分。

2.指数函数与三角函数乘积的不定积分。

3.其它情况。

第四节 有理函数的不定积分

1.有理函数、真分式、假分式。

2.分式部分化（通分运算的逆）运算。

【教学重点】换元法、分部积分法。

【教学难点】换元法、分部积分法。

【教学方案设计】从逆运算概念引入不定积分，给出相应概念系列，结合例题由简到繁详细讨论不定积分解题步骤和格式，理论讲解与课堂练习相结合。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第五章  定积分及其应用

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解定积分的概念，知道不定积分与定积分的关系，理解积分上限函数的概念，掌握定积分运算性质与运算方法。牢记牛顿莱布尼茨公式。用定积分的元素法求平面图形的面积、几何体的体积、平面曲线的弧长。

能力目标：能够熟练利用定积分基本公式与性质，结合换元法与分部法灵活进行初等函数的定积分运算。灵活利用元素法求平面图形面积、曲线弧长、旋转体体积等实际问题。

素质目标：强化“整体——局部——整体”的分析问题综合问题解决问题的能力。

【教学内容】

第一节 定积分的概念与性质

1.引例（两个经典问题）。

2.定积分的定义。

3.定积分的性质。

第二节 微积分基本公式

1.位移函数与速度函数的关系。

2.积分上限函数及其导数。

3.牛顿莱布尼茨公式。

第三节定积分的换元积分法与分部积分法

1.换元积分法。

2.分部积分法。

第四节定积分的应用

1.定积分的元素法。

2.元素法的应用：平面图形面积、旋转体体积、平面曲线弧长。

第五节广义积分

1.无穷限的广义积分。

2.无界函数的广义积分。

【教学重点】元素法，换元法，体积应用。

【教学难点】元素法。

【教学方案设计】从实际问题的解决引入定积分定义，从不定积分与定积分的关系入手引入定积分运算。采取理论讲解课堂练习相结合形式讲学。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第六章  微分方程

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解微分方程的概念，掌握可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法。了解微分方程的应用，认真阅读教材相关应用实例。

能力目标：能够借助微积分思想列出微分方程，熟练利用相应方法解决微分方程的求解问题。

素质目标：经过重新认识“方程”的概念，了解数学方程的发展历程，培养用发展的观点看问题的意识。

【教学内容】

第一节 微分方程的概念

1.微分方程，微分方程的解、阶，通解、特解。

2.初始条件、积分曲线。

第二节 可分离变量的微分方程

1.可分离变量的微分方程。

2.齐次方程。

第三节一阶线性微分方程

1.一阶线性微分方程的概念。

2.一阶线性微分方程的解法。

第四节二阶常系数线性微分方程

1.二阶常系数线性齐次微分方程及其解法。

2.二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法。

【教学重点】变量可分离微分方程、一阶线性微分方程。

【教学难点】一阶线性非齐次微分方程解法理论、二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法。

【教学方案设计】从代数方程的解决引入微分方程，通过微分方程与代数方程的区别与联系，培养学生解决动态问题的意识和能力。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第七章  向量代数与空间解析几何

【总学时】6学时

【学时分配】讲课（含研讨）6学时

【目的要求】

知识目标：理解向量的概念，向量的加、减、数乘、数量积、向量积运算；掌握空间直角坐标系、两点间的距离公式、向量的投影；了解曲面方程的概念和方程、空间曲线的概念与方程（组），掌握平面的方程、直线的方程（组）。

能力目标：能够灵活进行向量的加、减、数量积、向量积运算，熟练求向量的夹角、模、方向角、方向余弦，灵活求解空间曲线在坐标平面上的投影及其方程。熟练求解平面的方程、直线的方程。

素质目标：培养学生在三维空间解决问题的能力、利用向量工具解决问题的能力、准确判断空间曲面位置关系的能力、空间想象能力

【教学内容】

第一节 向量及其运算

1.空间直角坐标系，向量的线性运算。

2.向量的数量积、向量积，两点间的距离，向量的方向角与方向余弦，向量的投影。

3.混合积。

第二节 曲面及其方程

1.点的轨迹，方程的概念。

2.二次曲面，柱面、旋转面。

第三节空间曲线及其方程

1.一般方程。

2.参数方程。

3.空间曲线在坐标平面上的投影

第四节平面及其方程

1.平面的点法式方程。

2.平面的一般方程。

3.平面之间的夹角。

第五节直线及其方程

1.直线的一般方程。

2.直线的点向式方程、参数方程。

3.两直线的夹角、直线与平面的夹角。

【教学重点】向量的数量积、向量积，平面方程、直线方程。

【教学难点】曲面方程、曲线方程（组）。

【教学方案设计】复习二维向量，引入三维向量，培养学生利用向量工具解决平面方程、直线方程的能力。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第八章  多元函数微分法及其应用

【总学时】12学时

【学时分配】讲课（含研讨）12学时

【目的要求】

知识目标：理解多元函数的概念，掌握多元函数的微积分运算。了解极坐标系下的积分方法。

能力目标：基于一元函数微积分理论，利用划归思想灵活进行二元函数和简单三元函数的极限、偏导数、全微分、积分运算；熟练求曲面的切平面和法线方程、曲线的切线和法平面方程；能够利用二重积分求解空间几何体的体积、曲面的面积。熟练地把重积分转换为累次积分、把曲线积分转化为定积分或二重积分。

素质目标：培养学生在三维空间解决问题的能力、培养学生空间想象能力、多元问题一元化的能力。

【教学内容】

第一节 多元函数的极限

1.区域、多元函数的概念，定义域、图像。

2.多元函数的极限。

3.多元函数的连续性。

第二节 多元函数的偏导数

1.偏导数的定义与运算。

2.高阶偏导数。

第三节全微分

1.全微分。

2.近似计算。

第四节多元复合函数的求导

1.多元函数与一元函数的复合。

2.多元函数与多元函数的复合。

3.其它情况。

第五节隐函数的求导

1.一个方程情况。

2.多个方程情况。

第六节多元函数微分法应用

1.曲面的切平面与法线。

2.空间曲线的切线与法平面。

第七节二重积分及其应用

1.曲顶柱体的体积、二重积分。

2.直角坐标系下的二重积分。

3.极坐标系下的二重积分。

4.曲面面积。

【教学重点】二元函数极限、偏导数、全微分，二重积分，多元函数的极值。

【教学难点】隐函数求导、条件极值，曲面面积。

【教学方案设计】复习一元函数微积分，利用类比教学法引入多元函数微积分，拓宽学生视野。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第九章  级数

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解级数的概念，掌握常数项级数及其审敛法、幂级数收敛域的求法，会求解幂级数的和，能够将简单函数展开成幂级数。

能力目标：能够灵活利用常数项级数审敛法判断其敛散性，灵活利用幂级数的审敛法求其收敛域，准确求幂级数的和。

素质目标：培养学生有限与无限相互转换的能力、微分与积分综合解决问题的能力。

【教学内容】

第一节 常数项级数的概念及审敛法

1.常数项级数的定义与性质。

2.常数项级数及其审敛法。

3.绝对收敛与条件收敛。

第二节 幂级数

1.函数项级数的概念。

2.幂级数及其收敛域。

3.幂级数的运算、幂级数求和、函数展开成幂级数。

【教学重点】正项级数、交错级数、幂级数的敛散性，幂级数求和。

【教学难点】幂级数求和、函数展开成幂级数。

【教学方案设计】基于高中数列的学习、初等函数的学习，引入级数学习。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

六、课程考核及成绩评定

高等数学是考试课程，理论考试形式是闭卷，理论成绩约占70%、平时成绩约占30%。

七、建议教材及教学参考书

1.教材：普通高等教育“十一五”国家规划教材。

高等教育出版社出版；由同济大学数学教研室主编的《高等数学》（少学时）。

2. 参考书可采用海洋出版社出版，由李文主编的《高等数学辅导及教材习题解析》；另外由高等教育出版社出版的《高等数学》和《微积分》都可以作为本教材的参考书。

 

教学大纲编审者：祁爱琴           授课教研室：数学教研室

课程负责人：高明海               所属学院：公共卫生与管理学院

专业负责人：翟向明               学院院长：曹高芳

 

二〇一八年七月十一日